高一数学知识点(14)

【来源：易教网 更新时间：2026-09-20】

是不是最近刚啃完指数函数和反比例函数，做选择题的时候还是在“a大于1还是小于1”“k正负对应的增减性”之间反复横跳？上周有个高一小伙伴在后台吐槽，月考这两块知识点一共扣了18分，本来能冲年级前50，硬生生滑到了200名开外。

今天就把这两个函数的全部核心考点、易错点、常考变形给你掰碎了讲明白，看完再去刷题，正确率至少提30%。

一、指数函数核心考点全梳理

首先先敲黑板：指数函数的定义是形如\( y=a^x \)（\( a>0 \)且\( a\neq1 \)）的函数，这里关于底数\( a \)的要求是硬性规定，很多人刚学的时候会忽略，觉得\( a \)取负数不行吗？

你想想如果\( a \)是-2，那\( x \)取\( \frac{1}{2} \)的时候，函数值就是\( \sqrt{-2} \)，在实数范围内根本不存在，所以\( a \)必须大于0；

而\( a=1 \)的时候函数就变成\( y=1 \)了，是常函数，没有单独研究的必要，所以我们讨论的指数函数，\( a \)永远在\( (0,1)\cup(1,+\infty) \)这个区间里。

接下来是值域，不管\( a \)取什么符合要求的值，指数函数的值域永远是\( (0,+\infty) \)，永远碰不到\( x \)轴，也永远不会取到0或者负数的值，这个性质后面做函数的零点、大小比较题的时候特别有用，比如你看到选项里说指数函数能取到负值，直接排除就行。

然后是指数函数的图像特征：所有指数函数的图像都是下凹的，没有凸起的部分，画图的时候别画变形了，选择题里考图像判断的，看到凸的选项直接排除。接下来是最容易混的增减性考点：当\( a>1 \)的时候，函数在整个定义域上单调递增，\( x \)越大\( y \)越大；

当\( 0

很多老师上课会讲\( a \)从0到无穷大的动态变化规律，你理解不了的话就记这个结论：当\( a \)从0往1靠近的时候，函数是递减的，图像越来越平缓，慢慢往\( y=1 \)这条线靠；当\( a \)从1往无穷大走的时候，函数是递增的，图像越来越陡，往\( y \)轴正半轴靠。

中间过渡的位置就是\( y=1 \)这条水平线，因为\( a=1 \)的时候函数就和\( y=1 \)重合，所以我们不把它归到指数函数里。

还有个必考点：所有的指数函数都过\( (0,1) \)这个点，你把\( x=0 \)代进去，不管\( a \)是多少，\( y \)都是\( a^0=1 \)，这个点可以直接当解题的突破口，比如比较两个指数函数的大小，如果\( x=0 \)的话它们的\( y \)值都是1，\( x>0 \)的时候就看底数大小，底数大的函数值大，\( x<0 \)的时候反过来，底数大的函数值小，这个技巧做选择题的时候能省很多时间。

说下指数函数的渐近线：它永远碰不到\( x \)轴，只能无限靠近\( x \)轴，\( x \)轴就是它的水平渐近线，不管\( x \)往正方向还是负方向跑，都永远不会和\( x \)轴相交，这个性质做极限题、图像判断题的时候经常考，比如问指数函数的图像能不能和\( x \)轴相交，直接说不能就行。

二、反比例函数高频考点拆解

反比例函数初中就接触过，但高中会考它的变形和更深入的几何性质，首先定义：形如\( y=\frac{k}{x} \)（\( k \)为常数且\( k\neq0 \)）的函数就是反比例函数，自变量\( x \)不能等于0，所以它的定义域是\( (-\infty,0)\cup(0,+\infty) \)，没有\( x=0 \)对应的点。

反比例函数的图像是双曲线，因为它是个奇函数，满足\( f(-x)=-f(x) \)，所以图像关于原点对称，第一象限有图像第三象限肯定有对应的部分，第二和第四象限也是对称的，这个性质做图像对称题的时候直接就能用。

还有个常考的几何性质：在反比例函数的图像上任取一点，往\( x \)轴和\( y \)轴分别作垂线，这点、两个垂足和原点围成的矩形面积是定值，等于\( |k| \)。这个考点经常结合几何题考，比如给你一个矩形面积让你求\( k \)，或者给你\( k \)让你求面积，都是送分题，别丢分。

接下来是\( k \)的正负对应的性质，这个也特别容易混，我给你理清楚：当\( k>0 \)的时候，双曲线的两支分别在第一和第三象限，这时候在每一个象限内，函数是减函数，也就是\( x \)越大\( y \)越小；当\( k<0 \)的时候，两支在第二和第四象限，每一个象限内是增函数，\( x \)越大\( y \)越大。这里要特别注意一个高频坑点：说反比例函数的增减性，必须加“在每个象限内”这个前提，不然直接说“\( k>0 \)时是减函数”是错的——因为你在第三象限取个\( x_1 \)，第一象限取个\( x_2 \)，\( x_1y_2 \)，这时候不能说整个函数是减函数，这个点考试经常挖坑，千万别踩。

反比例函数的渐近线是\( x \)轴和\( y \)轴，它只能无限靠近这两条轴，但是永远碰不到，因为\( x \)不能等于0，\( y \)也永远不可能等于0，这个和指数函数只有\( x \)轴渐近线要区分开，选择题里考渐近线的别选错。

说下反比例函数的高频变形：对于\( y=\frac{k}{x\pm m} \)（\( m \)为常数），这个相当于把原来的\( y=\frac{k}{x} \)的图像向左或者向右平移\( |m| \)个单位。

这里也有个容易搞反的点：\( x \)后面加\( m \)的时候，相当于把图像往左平移\( m \)个单位；\( x \)后面减\( m \)的时候，相当于往右平移\( m \)个单位。

比如\( y=\frac{2}{x+3} \)就是把\( y=\frac{2}{x} \)向左平移3个单位，\( y=\frac{2}{x-3} \)就是向右平移3个单位，很多人会记反，你就记“加往左，减往右”，和一次函数的平移规律是一致的，就不会错了。

这里还要提醒一句：这个平移规律只针对\( x \)的变化，如果是在\( k \)后面加减数，那叫上下平移，和左右平移是两回事，别搞混了，考试经常把这两种变形放一起考，你要是记混了直接丢分。

三、两个函数易错点避坑指南

给大家整理两个函数的3个高频易错点，期末考前必看：

1. 指数函数的底数必须大于0且不等于1，\( a\leq0 \)的情况不用考虑，很多选择题里会故意给\( a=-2 \)这种选项让你判断是不是指数函数，直接排除。

2. 反比例函数的增减性必须加“每个象限内”的前提，不然直接说增减性是错的，这个点选择题、填空题都爱考。

3. 指数函数过\( (0,1) \)，反比例函数不过原点，过\( (0,1) \)的是指数函数，别把两个函数的定点搞混了。

这两个函数是高一函数部分的敲门砖，后面的对数函数、幂函数都是和它们对比着学的，今天讲的内容全是教材里的核心考点，也是月考、期末考、甚至高考选填题的常客，把今天整理的记牢，再去刷对应的专项练习题，这部分的分基本能拿全。

要是有哪里没看懂，或者想要对应的专项练习题，后台留言“指数函数”或者“反比例函数”，我下期给你们整理这两个函数的大小比较、图像判断常考题型，手把手教你怎么快速破题。