高中数学期末必刷的9类参照函数，吃透它函数题基本不会丢分

【来源：易教网 更新时间：2026-11-04】

不知道你有没有过这样的刷题经历：遇到一道陌生的函数题，盯着题干看了十分钟，愣是不知道从哪下手，最后草草写上几步，对答案的时候才发现自己连题目的核心考点都没摸到。

其实你缺的不是刷题量，而是没把高中数学里的9类参照函数摸透——它们就像你做函数题的“定海神针”，所有复杂的函数题本质上都是这些参照函数的变形，吃透它们的性质，下次遇到函数题一眼就能找到突破口。

啥是“参照函数”？为啥它是你做函数题的“开挂神器”？

参照函数说白了就是高中数学里最基础、考频最高的9类函数，你把它们的定义、图像、性质、常考变形都烂熟于心之后，再遇到陌生的复合函数、抽象函数，第一时间就能往这些参照函数上靠，用已知的性质去拆解未知的问题。

就好比你练武功先扎三年马步，所有花里胡哨的招式拆解到最后，都是最基础的马步、冲拳、踢腿，函数题也是一样，再复杂的考法都跳不出这9类参照函数的基本框架。

我上课经常跟学生说，做函数题第一步就是“认亲”：先看这个陌生函数的图像像哪个参照函数，再对比性质找共通点，剩下要做的不过是套用对应的性质解题而已。很多同学觉得函数题难，本质上是把参照函数当成了孤立的知识点背，从来没想过把它们当成解题的工具用，方向错了自然越学越累。

一次函数：最容易被忽略的“送分题核心”

一次函数的形式是 \( y = ax + b \)（\( a \neq 0 \)），图像就是一条直线，很多同学觉得它太简单，复习的时候一眼带过，结果考试的时候在它上面翻车的比比皆是。

首先你要记牢两个核心参数的意义：斜率\( a \)直接决定函数的单调性，\( a>0 \)的时候函数在整个定义域上递增，\( a<0 \)的时候递减；

截距\( b \)就是直线和\( y \)轴的交点纵坐标，这个点在判断一次函数图像的时候是每年必考的考点，去年新高考卷里有一道题给了四个一次函数的图像，让你判断\( a \)、\( b \)的正负，很多平时基础不牢的学生都在这道题上丢了分。

一次函数的考法除了基础的图像判断，最常考的就是线性规划问题，本质就是一次函数在可行域上的最值问题，你只要把目标函数转成斜截式，通过平移直线就能找到最值点，比用代数方法算快一倍。

还有一次函数的斜率公式，两点\( (x_1,y_1) \)、\( (x_2,y_2) \)之间的斜率是 \( k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)，这个公式在求直线方程、判断三点共线的时候都经常用到，一定要记熟。

二次函数：高中函数的“扛把子”，拿下它函数题就赢了一半

二次函数的一般形式是 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），图像是抛物线，说它是高中函数的“扛把子”一点都不夸张，不管是后面的不等式、数列、导数题，本质上都能和二次函数挂钩。

首先要记牢三个核心性质：开口方向由\( a \)决定，\( a>0 \)开口向上，\( a<0 \)开口向下，开口宽度和\( |a| \)成反比，\( |a| \)越大开口越窄；

顶点的横坐标是 \( x=-\frac{b}{2a} \)，对应的纵坐标是 \( y=\frac{4ac-b^2}{4a} \)，求二次函数在给定区间上的最值，核心就是看对称轴和给定区间的相对位置，对称轴在区间左边就找右端点的函数值，在区间右边就找左端点，在区间里面就对比对称轴处和两端点的函数值，这个技巧我讲过无数次，还是有很多同学考试的时候瞎代入端点，白白丢分。

还有二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的对应关系， \( ax^2+bx+c>0 \) 的解集对应抛物线在\( x \)轴上方的部分，\( ax^2+bx+c<0 \) 对应抛物线在\( x \)轴下方的部分，这个对应关系记牢了，解不等式、判断根的个数的时候直接画个草图就能出答案，根本不用死记硬背判别式的用法。

反比例函数：别再说它“单调递减”，90%的人都记错了性质

反比例函数的形式是 \( y = \frac{k}{x} \)（\( k \neq 0 \)），图像是双曲线，它是幂函数里最常考的一类，也是很多同学容易踩坑的重灾区。

首先最常考的坑就是单调性：反比例函数不能说“在整个定义域上单调递减”，只能说“在每一个象限内单调递减”，这个考点从高一考到高三，每次考都有大把学生写错，就是因为没注意到它的定义域是分成了两个不连通的象限，不能放在一起说单调性。

还有一个超高频考点是\( k \)的几何意义：过双曲线上任意一点作\( x \)轴、\( y \)轴的垂线，和坐标轴围成的矩形面积是 \( |k| \)，和原点、这个点、垂足围成的三角形面积是 \( \frac{1}{2}|k| \)，这个性质考选择、填空的时候几乎每年都出现，去年就有道题给了反比例函数的图像，让你求某个四边形的面积，其实就是考这个性质，根本不需要算坐标，直接找\( k \)就能出答案。

指数函数：考频拉满，这几个性质记牢了考试直接秒

指数函数的形式是 \( y=a^x \)（\( a>0 \)且\( a\neq1 \)），图像永远是单调的，\( a>1 \)的时候递增，\( 0

指数函数的考法除了基本的图像和性质，最常考的是实际应用，比如人口增长、放射性衰变、复利计算，这类应用题现在考得越来越多，核心就是把实际问题转成指数模型，代入公式计算就行。

还有一个易混点：指数函数和对数函数是互为反函数，它们的图像关于直线 \( y=x \) 对称，这个性质考图像对应的时候经常出现，你只要记住指数函数过\( (0,1) \)，它的反函数肯定过\( (1,0) \)，做这类题根本不用画图，直接看定点就能选出来。

对数函数：别和指数函数搞混，这个小技巧帮你永久记牢

对数函数的形式是 \( y=\log_a x \)（\( a>0 \)且\( a\neq1 \)），它是指数函数的逆运算，很多同学把它和指数函数搞混，教你个小技巧：指数函数的指数是\( x \)，所以\( x=0 \)的时候\( y=1 \)，过\( (0,1) \)；

对数函数的真数是\( x \)，真数不能为0，所以\( x=1 \)的时候\( y=0 \)，过\( (1,0) \)，这么记永远不会搞混。

对数函数最常考的是换底公式和运算性质，换底公式是 \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)，化简求值的时候特别常用，还有对数的运算法则：\( \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) \)，\( \log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \)，\( n\log_a M = \log_a M^n \)，这三个公式是化简对数式、解对数方程的基础，一定要记熟。

还有对数函数的单调性和底数挂钩，\( a>1 \)的时候递增，\( 0

幂函数：图像规律记牢了，考啥都不怕

幂函数的形式是 \( y=x^n \)（\( n \)为实数），它的图像看起来千变万化，其实第一象限的图像是有固定规律的：当\( n>1 \)的时候，图像过\( (0,0) \)和\( (1,1) \)，在\( (0,1) \)区间内上凸，在\( (1,+\infty) \)区间内下凸；

当\( 0

还有幂函数的奇偶性：当\( n \)是奇数的时候，幂函数是奇函数，图像关于原点对称；当\( n \)是偶数的时候，幂函数是偶函数，图像关于\( y \)轴对称，这个性质在判断函数奇偶性、解不等式的时候经常用到。

三角函数：后面的解三角形、数列全指着它打基础

三角函数包括正弦函数\( y=\sin x \)、余弦函数\( y=\cos x \)、正切函数\( y=\tan x \)，它们都是周期函数，正弦和余弦的周期是\( 2\pi \)，正切的周期是\( \pi \)，这个是最基础的性质，记牢了做周期性、求值的问题才不会错。

很多同学背不会诱导公式，其实根本不用死记硬背，用图像来记就行：正弦函数向左平移\( \frac{\pi}{2} \)个单位就是余弦函数，所以\( \sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos x \)，向右平移\( \frac{\pi}{2} \)个单位就是\( -\cos x \)，这么记比记“奇变偶不变，符号看象限”靠谱多了，至少不会搞混符号。

三角函数最常考的是恒等变换，也就是和角公式、倍角公式，后面的解三角形、求函数值域、证明等式的时候都会用到，还有三角函数的实际应用，比如测量楼高、航海问题，本质就是用正切、正弦、余弦把实际的长度关系转成三角函数关系，解三角形就能算出结果，这类应用题现在考得特别多，都是贴近生活的，不会出现太复杂的计算。

分段函数、复合函数：别怕“复杂”，拆解了都是基础题

很多同学看到分段函数、复合函数就慌，觉得它们复杂，其实拆解开来都是你早就学过的参照函数的组合。

分段函数说白了就是“不同区间用不同表达式”，你做的时候只要先看\( x \)落在哪个区间，就用对应的表达式计算就行，常考的考点是分段函数的单调性、奇偶性、零点，比如求分段函数的零点，就是分别求每一段的零点，再去重就行，根本不用怕。

现在考得很多的实际应用题，比如阶梯电价、出租车计价、个人所得税计算，本质都是分段函数，做这类题的时候只要把分段点找对，对应区间套表达式就行。

复合函数就是“函数的函数”，比如\( y=\sin(x^2) \)，里面是\( u=x^2 \)，外面是\( y=\sin u \)，复合函数的单调性有个口诀叫“同增异减”：如果内层函数和外层函数的单调性一致，那复合函数就是递增的；如果不一致，复合函数就是递减的。

比如\( y=\sin(x^2) \)，外层\( y=\sin u \)在\( (0,\frac{\pi}{2}) \)上递增，内层\( u=x^2 \)在\( (0,+\infty) \)上递增，那复合函数在\( (0,\frac{\sqrt{\pi}}{2}) \)上就是递增的，这个口诀记牢了，复合函数的单调性问题十秒就能出答案。

还有复合函数的定义域问题，记住两个原则：如果是\( y=f(g(x)) \)的定义域，那是\( x \)的范围，要先看内层\( g(x) \)的范围；

如果是已知\( y=f(x) \)的定义域，求\( y=f(g(x)) \)的定义域，那就是求\( g(x) \)落在\( f(x) \)定义域里的\( x \)的范围，这两个原则搞清楚了，定义域的问题不会再丢分。

说两句掏心窝子的话

我见过太多学生，复习函数的时候天天刷难题，结果基础的参照函数性质记混了，考试的时候送分题丢了一大堆。其实你完全不用着急刷难题，先把这9类参照函数的定义、图像、性质、常考变形都理清楚，平时刷题的时候遇到陌生的函数，第一时间往这些参照函数上靠，做上二三十道题，你自然就摸透了函数题的出题逻辑。

函数题从来不是靠“灵光一现”做出来的，是靠你对基础参照函数的熟悉程度堆出来的。把这些基础打牢，期末考的函数题基本不会丢分，就算遇到偏题、难题，你也能靠着参照函数的性质拆解出大部分步骤，捞到该拿的分数。