初中数学“教案、学案一体化设计”案例

【来源：易教网 更新时间：2025-10-08】

1、使学生理解切割线定理及其推论；

2、使学生初步学会运用切割线定理及其推论。

3、通过对切割线定理及推论的证明，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力；

4、通过对切割线定理及其推论的初步运用，培养学生的分析问题能力。在上节我们曾经学到相交弦定理及其推论，它反映了圆中两弦的数量关系；我们可以用同样的方法来研究圆的一条切线和一条割线的数量关系。

教学重点：

使学生理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理。

教学难点：

学生不能准确叙述切割线定理及其推论，针对具体图形学生很容易得到数量关系，但把它用语言表达，学生感到困难。

教学过程：

一、新课引入：

我们已经学过相交弦定理及其推论，现在我们用同样的数学思想方法来研究圆的另外的比例线段。

二、新课讲解：

现在请同学们在练习本上画⊙O，在⊙O外一点P引⊙O的切线PT，切点为T，割线PBA，以点P、B、A、T为顶点作三角形，可以作几个三角形呢？它们中是否存在着相似三角形？如果存在，你得到了怎样的比例线段？可转化成怎样的积式？现在请同学们打开练习本，按要求作⊙O的切线PT和割线PBA，后研究讨论一下。

学生动手画图，完成证明，教师巡视，当所有学生都得到数量关系式时，教师打开计算机或幻灯机用动画演示。

最终教师指导学生把数量关系转成语言叙述，完成切割线定理及其推论。

1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

关系式：PT=PA·PB

2、切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线。这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

数量关系式：PA·PB=PC·PB。

切割线定理及其推论也是圆中的比例线段，在今后的学习中有着重要的意义，务必使学生清楚，真正弄懂切割线定理的'数量关系后，再把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样，定理叙述并不困难。

练习一，P128中

1、选择题：如图7-86，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是[]

A、PC·CA=PB·BD

B、CE·AE=BE·ED

C、CE·CD=BE·BA

D、PB·PD=PC·PA

答案：(D)，直接运用和圆有关的比例线段进行选择。

练习二，P128中

2、如图7-87，已知：Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长。

此题已知Rt△ABC中的边AC、BC，则AB可知。容易证出BC切⊙O于C，于是产生切割线定理，BD可求。

练习三，P128中3。如图7-88，线段AB和⊙O交于C、D，AC=BD，AE、BF分别切⊙O于E、F。

求证：AE=BF。

本题可直接运用切割线定理。

例3P127，如图7-89，已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=10.9cm。

求⊙O的半径。

此题要通过计算得到⊙O的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长PO与圆交于另一点，则可产生切割线定理的推论，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，从而由等式中求出半径。

必须使学生清楚这种数学思想方法，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，则关系式中必有两条线段是半径的代数式构成，只要解关于半径的一元二次方程即可。

解：设⊙O的半径为r，PO和它的长延长线交⊙O于C、D。

(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正数解)

答：⊙O的半径为5.9。

三、课堂小结：

为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材P127—P128。总结出本课主要内容：

1、切割线定理及其推论：它是圆的重要比例线段，它反映的是圆的切线和割线所产生的数量关系。需要指出的是，只有从圆外一点，才可能产生切割线定理或推论。切割线定理是指一条切线和一条割线；推论是指两条割线，只有使学生弄清前提，才能正确运用定理。

2、通过对例3的分析，我们应该掌握这类问题的思想方法，掌握规律、运用规律。

四、布置作业：

1、教材P132中10；

2、P132中11。