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看似简单实则复杂的课程------高等代数(线性代数)

【作者:何教员,编号24128 点击数:335 更新时间:2023-07-08

"高等代数"是国内数学系的一门基础课, 主要以线性空间与线性映射为主要内容. 事实上该课程在欧美叫做“线性代数(Linear algebra)”, 国内使用"高等代数"这一名字是沿袭了前苏联的称呼, 而"线性代数"在国内则成为非数学系的课程.


对于刚进入大一的学生来说, 在学习高等代数的过程中, 似乎感觉比数学分析简单. 可是往往到了期末环节, 会发现反而高等代数并没有那么简单, 甚至比数学分析更难把控. 是什么原因呢? 笔者根据多年的教学经验, 对高等代数这门课作了以下一些经验总结与分析.


第一, 国内很多大学的高等代数并不是从事代数领域研究的教授讲授. 高等代数的一大重要工具是矩阵, 而矩阵的本质是线性映射. 可是国内很多大学的数学系, 生生地把高等代数讲成了矩阵论, 讲授该课程的教授大多是研究矩阵计算或者组合理论方面的专家. 这些教授在讲授高等代数这一代数学课程时, 往往只注重矩阵本身的各种变换, 而忽略从代数的角度去理解矩阵的本质. 一个典型的弊端是, 很多学生在学完高等代数之后, 不明白矩阵的本质是线性变换, 甚至学生认为所有的线性空间都是标准的列向量空间. 在这一点上, 笔者觉得一些国外的Linear algebra教材比国内好很多, 开篇从线性空间(Vector space)出发, 通过取一组基, 再通过线性变换定义矩阵, 而线性变换的加法, 数乘, 与复合运算, 自然地定义了矩阵的加法, 数乘, 与复合.


第二, 相比于数学分析, 讲授高等代数的灵活性比较大. 确实, 数学分析的某些章节内容对于初学者来说难以掌握, 比如实数系完备性公理以及定积分可积性的等价条件等. 然而, 数学分析的整体脉络比较清晰与紧凑. 举例而言, 要学导数, 必须要先学极限; 学了导数之后, 自然过渡到逆运算---积分. 然而, 对高等代数而言, 十个不同的教授可以有十种不同的教学顺序. 如前段所述, 国内的教材通常从矩阵开篇, 而一些国外的教材也可以从线性空间开始. 甚至一个定义, 都可以从不同的角度切入. 例如"秩"这个概念, 一些高等代数教材从纯组合的角度, 通过矩阵的相抵标准型来定义矩阵的秩, 之后再介绍一般线性变换的秩; 相对代数化一点的定义, 是考虑矩阵的行或列向量空间的维数; 甚至还有一些教材通过子矩阵的行列式来定义. 这些方法离不开矩阵. 另一些高等代数教材则直接定义线性映射的秩, 即线性映射的像空间的维数, 这是最代数化的定义, 无需依赖矩阵, 也最能让学生完全理解秩的本质. 这类定义法适用于以线性空间开篇的教材.


第三, 高等代数的体系比较庞大, 知识脉络比较复杂. 学过数学分析的人都有感受, 数学分析是越学越简单, 一般学完上册一元微分学与积分学之后, 下册的多元微分学与积分学内容就变得不那么难了. 因此虽然数学分析也是一门庞大的学科, 其内容有一定的重叠性. 然而高等代数的内容之间关系若即若离, 章节之间固然有紧密的联系, 可这种联系并不像数学分析那样是一条清晰的脉络. 这就如前段所述, 章节之间是可以变更顺序的. 这就导致, 学生在学完高等代数之后, 需要自己梳理里面千丝万缕的联系. 如一些高等代数教材, 先介绍二次型, 再介绍欧式空间. 但是学生在学完之后, 能否意识到二次型所定义的双线性函数是内积的特例? 如果说, 数学分析的脉络像是一根粗大的电线杆, 高等代数的脉络则像是有无数分支的树干. 看似电线杆比树干粗, 攀爬难度大, 但是要看清楚充满分支的树干的结构却是极其不易的事情.


第四, 高等代数作为基础, 对于后期的学习有着不可估量的重要性. 一些国内优秀的高等代数教材, 甚至添加了群论, 环论, Lie代数等后期课程内容, 显示了作者提示高等代数的重要性. 使用一些非退化型可以定义经典群, 如Hermitian型可以定义酉群, 非退化对称双线性型可以定义正交群, 非退化反对称双线性型可以定义辛群. 因此高等代数是后期各种代数类课程的基础, 如抽象代数, 代数表示论, 代数群, Lie群与Lie代数等.


综上所述, 高等代数绝不是一门单纯的学科, 它的复杂脉络与重要性可能是很多初学者所无法体会的, 因此学习高等代数绝不能仅仅单纯理解课堂的内容, 需要学生自己有融会贯通的能力跟意识. 对高等代数的学习仍有困难的学生, 欢迎联系本家教, 本家教任职于上海某211大学数学系副教授, 有多年高等代数及其它大学数学课程的教学经验.

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