一元二次不等式的解法

【来源：易教网 更新时间：2025-03-06】

一、教学目标

在数学教育中，一元二次不等式的解法是高中数学的重要组成部分。它不仅是学生进一步学习高等数学的基础，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的关键环节。因此，设计本节课的教学目标时，我们不仅关注学生对知识的掌握，更注重培养他们的数学思维能力和合作精神。

1. 知识目标：通过本节课的学习，学生应能够熟练掌握一元二次不等式的两种主要解法——配方法和图像法，并正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者之间的关系。这三者之间的联系与转化是数学中的重要思想之一，对于学生深入理解代数和几何的结合具有重要意义。

2. 能力目标：本节课旨在培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力。具体来说，学生应能够在解题过程中灵活运用这些方法，提高运算和作图能力。例如，在解决实际问题时，学生可以通过画出二次函数的图像来直观地理解不等式的解集范围，从而更好地把握问题的本质。

3. 德育目标：通过对解不等式过程中“等”与“不等”对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辩证唯物主义思想。在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。这种思维方式不仅有助于他们解决数学问题，更能为他们在未来的生活和工作中提供有益的思考方式。

二、学生分析

高一学生在初中阶段已经接触过一元一次方程、一元一次不等式、一次函数以及一元二次方程、一元二次不等式和二次函数等基础知识。然而，许多学生并不清楚这些概念之间的内在联系，尤其是在处理复杂问题时，往往感到困惑。考虑到这一实际情况，教师在教学过程中应当特别注意以下几点：

1. 知识衔接：尽管学生在初中已经学过相关内容，但高中阶段的要求更高，内容也更为复杂。因此，教师需要帮助学生梳理旧知识，建立起新旧知识之间的桥梁。例如，可以通过复习一元一次方程和不等式的解法，逐步引入一元二次方程和不等式的解法，使学生在熟悉的基础上逐步掌握新的知识点。

2. 思维依赖：高一年级的学生虽然知识基础较好，但在思维上仍然比较依赖老师。此时，教师应充分发挥引导作用，鼓励学生自主思考和探索。例如，可以通过设置一些开放性问题，激发学生的兴趣，让他们在解决问题的过程中逐渐摆脱对老师的依赖，培养独立思考的能力。

3. 合作学习：为了更好地促进学生之间的交流与合作，教师可以组织小组讨论或合作学习活动。通过这种方式，学生不仅可以互相帮助，共同解决问题，还能学会倾听他人的意见，培养团队合作精神。此外，合作学习还有助于激发学生的创新思维，提高他们的表达能力和沟通技巧。

三、教学过程

# （一）导入新课

为了让学生更好地理解一元二次不等式的解法，教师可以从简单的实际问题入手，引导学生逐步进入主题。例如，可以提出一个关于销售利润的问题：“某公司生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为80元。如果公司希望每天的利润不少于1000元，那么每天至少要卖出多少件产品？

”通过这个问题，教师可以引导学生列出一元一次不等式并求解，进而引出一元二次不等式的概念。

# （二）理论讲解

1. 一元二次不等式的定义

一元二次不等式是指含有一个未知数且最高次数为2的不等式，其一般形式为：

$$a{x}^2+bx+c>0(a\ne 0)$$

或

$$a{x}^2+bx+c<0(a\ne 0)$$

在这里，$a$、$b$ 和 $c$ 是常数，其中 $a\ne 0$。根据不等号的不同，我们可以将一元二次不等式分为两大类：大于零的不等式和小于零的不等式。

2. 一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的方法主要有两种：配方法和图像法。

- 配方法：配方法是通过配方将一元二次不等式转化为标准形式，再利用一元二次方程的根进行求解。具体步骤如下：

1. 将原不等式化为标准形式 $a{x}^2+bx+c>0$ 或 $a{x}^2+bx+c<0$。

2. 计算判别式 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$，判断方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根的情况。

3. 根据根的情况，确定不等式的解集。例如，当 $\mathrm{\Delta }>0$ 时，方程有两个不同的实根；当 $\mathrm{\Delta }=0$ 时，方程有一个重根；当 $\mathrm{\Delta }<0$ 时，方程无实根。

4. 最后，根据不等号的方向，确定解集的具体范围。

- 图像法：图像法是通过绘制二次函数的图像来直观地求解一元二次不等式。具体步骤如下：

1. 绘制二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图像。

2. 根据不等号的方向，找出图像位于x轴上方或下方的部分。

3. 确定这些部分对应的x值范围，即为不等式的解集。

3. 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系

一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间存在着密切的联系。具体来说：

- 一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根决定了二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图像与x轴的交点。

- 一元二次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ 或 $a{x}^2+bx+c<0$ 的解集对应于二次函数图像位于x轴上方或下方的部分。

- 因此，通过研究二次函数的图像，我们可以更直观地理解一元二次不等式的解法。

# （三）例题解析

为了帮助学生更好地掌握一元二次不等式的解法，教师可以选择一些典型的例题进行详细讲解。以下是两个例题供参考：

1. 例题1：解不等式 $x^2-5x+6>0$。

- 解法1（配方法）：

1. 首先，计算判别式 $\mathrm{\Delta }=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=1$.

2. 判别式 $\mathrm{\Delta }>0$，说明方程 $x^2-5x+6=0$ 有两个不同的实根。

3. 求解方程 $x^2-5x+6=0$，得到 $x_1=2$ 和 $x_2=3$。

4. 根据不等号的方向，解集为 $x<2$ 或 $x>3$。

- 解法2（图像法）：

1. 绘制二次函数 $y=x^2-5x+6$ 的图像。

2. 观察图像，发现图像在 $x=2$ 和 $x=3$ 处与x轴相交。

3. 图像在 $x<2$ 和 $x>3$ 的部分位于x轴上方，因此解集为 $x<2$ 或 $x>3$。

2. 例题2：解不等式 $2x^2-4x-6<0$。

- 解法1（配方法）：

1. 首先，计算判别式 $\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot 2\cdot (-6)=64$.

2. 判别式 $\mathrm{\Delta }>0$，说明方程 $2x^2-4x-6=0$ 有两个不同的实根。

3. 求解方程 $2x^2-4x-6=0$，得到 $x_1=-1$ 和 $x_2=3$。

4. 根据不等号的方向，解集为 $-1<x<3$。

- 解法2（图像法）：

1. 绘制二次函数 $y=2x^2-4x-6$ 的图像。

2. 观察图像，发现图像在 $x=-1$ 和 $x=3$ 处与x轴相交。

3. 图像在 $-1<x<3$ 的部分位于x轴下方，因此解集为 $-1<x<3$。

# （四）课堂练习

为了巩固所学知识，教师可以布置一些课堂练习题，让学生在课堂上完成。通过练习，学生可以加深对一元二次不等式解法的理解，并提高解题速度和准确性。以下是几道练习题供参考：

1. 解不等式 $x^2-3x-4>0$。

2. 解不等式 $3x^2+6x-9<0$。

3. 已知二次函数 $y=x^2-4x+3$，求该函数图像位于x轴上方的x值范围。

# （五）课堂总结

在课程结束前，教师应对本节课的主要内容进行总结，帮助学生梳理思路，巩固所学知识。具体内容包括：

- 一元二次不等式的定义及其两种解法（配方法和图像法）。

- 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系。

- 通过实际问题和例题解析，进一步加深对一元二次不等式解法的理解。

# （六）课后作业

为了检验学生对本节课内容的掌握情况，教师可以布置适量的课后作业。作业应涵盖不同难度层次的题目，既有基础题也有综合应用题，以满足不同层次学生的需求。以下是几道课后作业题供参考：

1. 解不等式 $2x^2-5x+2>0$。

2. 解不等式 $x^2-2x-8<0$。

3. 已知二次函数 $y=-x^2+4x-3$，求该函数图像位于x轴下方的x值范围。

4. 某工厂生产某种产品，每件产品的成本为40元，售价为70元。如果工厂希望每天的利润不少于1500元，那么每天至少要卖出多少件产品？

四、教学反思

在一元二次不等式的教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和效果，以便及时调整教学策略，提高教学质量。具体来说，可以从以下几个方面进行反思：

1. 教学内容的安排是否合理：教学内容应循序渐进，由浅入深，确保学生能够逐步掌握重点和难点。同时，应注意内容的连贯性和系统性，避免跳跃式教学。

2. 教学方法的选择是否得当：在讲解一元二次不等式的解法时，应结合多种教学方法，如讲授法、讨论法、练习法等，以激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。特别是对于抽象的概念和复杂的解法，应多采用实例和图形辅助教学，帮助学生更好地理解。

3. 学生反馈的收集与分析：教师应及时了解学生的学习情况，收集他们的反馈意见，分析存在的问题，并采取相应的措施加以改进。例如，对于学生普遍反映难以理解的内容，可以适当增加讲解时间或提供更多练习机会；对于个别学生遇到的困难，可以进行个别辅导或组织小组讨论。

4. 教学效果的评估与改进：通过课堂练习和课后作业，教师可以对学生的学习效果进行评估，了解他们对一元二次不等式解法的掌握情况。对于未达到预期效果的学生，教师应分析原因，调整教学计划，帮助他们克服困难，取得进步。

一元二次不等式的教学不仅要传授知识，更要培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过精心设计教学内容，灵活运用多种教学方法，教师可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念，为他们今后的学习打下坚实的基础。